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Resultante de tres o más Fuerzas
Concurrentes
El método de la regla del paralelogramo o la regla del triángulo se puede extender a los casos de tres o más fuerzas concurrentes.
En definitiva, se construyen polígonos de fuerzas dando igual el orden en que sumemos las fuerzas. Ejemplo:
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Si tenemos más de tres fuerzas colocamos una fuerza a continuación de la otra obteniendo como resultante el lado de cierre del polígono.
Dado que este método es laborioso, en la práctica se utiliza el método de las componentes rectangulares.
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Descomposición de una
Fuerza en componentes
Así como podemos sumar dos o más fuerzas para obtener una resultante, una fuerza se puede sustituir por un sistema de dos o más fuerzas (componentes de la original).
El proceso de descomposición no da un conjunto único de componentes vectoriales.
En la resolución de muchos problemas prácticos no es corriente utilizar componentes oblicuas de una fuerza pero si es habitual el empleo de componentes ortogonales (rectangulares).
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Problema 2
Determinar las magnitudes de las componentes u y v de la fuerza de 900 N de la figura.
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Problema 3
Determinar el módulo de F2 y el ángulo a que forma la recta soporte de la fuerza F2 con el eje x.
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Componentes rectangulares de una Fuerza
En el caso bidimensional el proceso de obtención de componentes rectangulares es muy sencillo ya que el triángulo que aparece es un triángulo rectángulo y solo hay que aplicar Pitágoras.
En forma vectorial cartesiana podemos escribir:
F = Fx + Fy = Fx i +Fy j
Donde:
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En casos tridimensionales, una fuerza F en el espacio se puede descomponer en tres componentes rectangulares mutuamente ortogonales.
F = Fx + Fy + Fz
F = Fx i +Fy j + Fz k
(Gp:) F = F
(Gp:) i + F
(Gp:) j + F
(Gp:) k
Donde:
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) = 1
Los cosenos directores deben cumplir la relación:
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Si un ángulo es mayor que 90º, su coseno es negativo, lo que indica que el sentido de la componente es opuesto al sentido positivo del eje de coordenadas correspondiente.
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La componente rectangular Fn de una fuerza F según una dirección arbitraria n se puede obtener utilizando el producto escalar y el vector en (vector unitario según la dirección n), así:
Fn = F . en = (Fx i + Fy j + Fz k) . en =
(Gp:) (Fx i + Fy j + Fz k) . (
(Gp:) i +
(Gp:) j +
(Gp:) k) =
(Gp:) Fx
(Gp:) + Fy
(Gp:) + Fz
(Gp:) =
(Gp:) F (
(Gp:) +
(Gp:) +
(Gp:) )
(Gp:) Vectorialmente:
Fn = Fn en = (F . en) en =
(Gp:) Fn (
(Gp:) i +
(Gp:) j +
(Gp:) k)
El ángulo que forma la recta soporte de la fuerza F con la dirección n se puede determinar así:
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Problema 4
Determinar las componentes x e y de la fuerza de la figura.
Determinar las componentes x´ e y´ de la fuerza de la figura.
Expresar F en forma vectorial cartesiana para los ejes xy y x´y´
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Problema 5
Determinar las componentes x, y y z de la fuerza de la figura.
Expresar F en forma vectorial cartesiana.
– 24 –
Problema 6
Determinar los ángulos ?x, ?y y ?z que forma la Fuerza con los ejes.
Determinar las componentes x, y y z de la fuerza.
Determinar la componente rectangular Fn de la fuerza según la recta OA.
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Resultantes por componentes rectangulares
(Gp:) Rx =
(Gp:) Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i
(Gp:) Ry =
(Gp:) Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j
En el caso de un sistema cualquiera de fuerzas coplanarias concurrentes y tras determinar las componentes rectangulares de todas las fuerzas, tenemos:
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Y según la regla del paralelogramo:
R = Rx + Ry = Rx i + Ry j
El módulo de R se calcula aplicando Pitágoras:
Además, el ángulo que forma la recta soporte de R con el eje x es:
(Gp:) ó
(Gp:) ó
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En el caso general de tres o más fuerzas concurrentes en el espacio y tras obtener sus componentes rectangulares, se tiene:
Fx = F1x + F2x + F3x + …+ Fnx = (F1x + F2x + F3x + …+ Fnx) i = Rx i
Fy = F1y + F2y + F3y + …+ Fny = (F1y + F2y + F3y + …+ Fny) j = Ry j
Fz = F1z + F2z + F3z + …+ Fnz = (F1z + F2z + F3z + …+ Fnz) k = Rz k
Rx =
Ry =
Rz =
R = Rx + Ry + Rz = Rx i + Ry j + Rz k
El módulo de R se calcula así:
Los ángulos que forma R con los semiejes de coordenadas positivos son:
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Problema 7
Determinar el módulo R de la resultante de las cuatro fuerzas y el ángulo ?x que forma su recta soporte con el eje x.
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Problema 8
Determinar el módulo R de la resultante de las tres fuerzas y los ángulos ?x, ?y y ?z que forma la recta soporte de la Resultante con los semiejes positivos de coorde-nadas x, y y z.
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Problema 9
Determinar el módulo R de la resultante de las tres fuerzas y los ángulos ?x, ?y y ?z que forma la recta soporte de la Resultante con los semiejes positivos de coorde-nadas x, y y z.
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